◇?作者：中國銀行上海總部金融市場部主管　王文濱

　　森浦二級交易解決方案業(yè)務(wù)主管　王乃身

　　森浦二級交易解決方案產(chǎn)品專家　吳小偉

　　中國銀行上海總部金融市場部業(yè)務(wù)經(jīng)理　袁駿青

　　◇?本文原載《債券》2024年11月刊

　　摘? ?要

　　本文嘗試從交易角度構(gòu)建實時利率曲線，闡述基于該曲線的定價方案，闡述數(shù)據(jù)選取和清洗方案，在給定債券投資組合的情況下闡述基于實時利率曲線的關(guān)鍵期限基點價值對沖策略，并考察該曲線的對沖效果。與其他研究不同，本文把流動性較好的國債期貨產(chǎn)品融入利率曲線構(gòu)建和對沖之中，具有較強(qiáng)的實踐指導(dǎo)意義。

　　關(guān)鍵詞

　　Nelson-Siegel模型　利率曲線　曲線定價　對沖模型

　　人民幣債券市場已經(jīng)成為全球第二大債券市場，但國內(nèi)債券市場的流動性結(jié)構(gòu)和報價價差依然存在提升空間。目前市場上對所有固定收益資產(chǎn)的定價通?；诠饣阆⒗是€對不同期限的現(xiàn)金流貼現(xiàn)。而做市商需要實時利率曲線用于做市和為市場提供流動性；投資機(jī)構(gòu)需要實時利率曲線及時發(fā)現(xiàn)交易機(jī)會，并可用于風(fēng)險計量和對沖交易。特別是對于對沖交易，更需要基于其自身能獲得的報價和可用的對沖工具構(gòu)建日內(nèi)可成交利率曲線。

　　隨著金融科技與電子化交易的發(fā)展，實時利率曲線重要性更為凸顯，故探討構(gòu)建實時利率曲線具有極大的經(jīng)濟(jì)價值。本文嘗試從更實務(wù)的交易和對沖角度提供一個實時利率曲線構(gòu)建的方法論。

　　本文主要分為四個部分：一是闡述實時利率曲線構(gòu)建的方法論，包括曲線模型、無套利分析；二是闡述基于該曲線的定價方案；三是闡述數(shù)據(jù)選取和清洗方案；四是分析該曲線定價結(jié)果，并在給定債券投資組合的情況下闡述基于實時利率曲線的關(guān)鍵期限基點價值對沖策略。

　　實時利率曲線構(gòu)建的方法論

　　（一）曲線模型分析

　　利率曲線中的靜態(tài)模型，主要通過擬合觀測數(shù)據(jù)構(gòu)造，包括非參數(shù)法和參數(shù)法。本文主要討論參數(shù)法，包括Nelson-Siegel（NS）模型及其拓展形式Svensson（SV）模型等，因其參數(shù)簡單方便計算，且具有宏觀意義。

　　NS模型中，即期利率的表達(dá)式為：

　　式中，τ=T-t，表示估值日期t至到期日T的剩余期限，βi（i=1，2，3）為模型參數(shù)。由模型推導(dǎo)可知：

　　y（τ）=β0+β1。β0為水平因子，代表長期利率水平；β1代表斜率因子，β2為曲率因子。

　　y（τ）=β0，

　　為提高利率曲線的擬合靈活性和精度，Svensson（1994）提出了NS模型的擴(kuò)展模型，即在NS 模型上添加兩個新參數(shù)，允許曲線出現(xiàn)第二個“駝峰”去擬合曲線在遠(yuǎn)端期限的曲率特征，由此構(gòu)成SV 模型。

　　Diebold and Li（2006）進(jìn)一步在NS模型的基礎(chǔ)上提出了動態(tài)NS（DNS）模型。模型假設(shè)將原NS模型中的三個固定參數(shù)（β0，β1，β2）變?yōu)槌扇齻€一階自回歸過程。

　?。ǘo套利分析

　　上述三個模型都沒有從理論上說明模型為無套利。Duffie和Kan（1996）提出仿射利率模型，假定利率與因子間存在線性仿射形式，并基于風(fēng)險中性測度對債券進(jìn)行定價，因此具有無套利特征。其中，零息債券價格為狀態(tài)變量的仿射函數(shù)：

　　Christensen、Diebold和 Rudebusch（2011）在仿射利率模型基礎(chǔ)上提出了無套利NS（Arbitrage-Free Nelson-Siegel，AFNS）模型。要使得仿射利率模型具有NS模型的特征，要求仿射利率模型中零息債券價格中因子系數(shù)方程B（t，T）的解滿足NS模型參數(shù)方程表達(dá)式，即

　　Coroneo、Nyholm和Vidova-Koleva（2011）實證研究了NS模型具有無套利特征。研究采用了重抽樣技術(shù)，基于NS模型生成樣本，將該樣本用于無套利仿射利率模型，檢驗結(jié)果是仿射利率模型得到的因子系數(shù)方程B（t，T）與NS模型的因子系數(shù)方程B（t，T）在統(tǒng)計上無差別，說明NS模型具有無套利特征。

　　本文選擇NS模型，理由是：首先，該模型便于快速實時計算，方便實際應(yīng)用；其次，該模型參數(shù)具有一定的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義；最后，如上所述，該模型理論上可以轉(zhuǎn)換為無套利仿射模型，統(tǒng)計上也認(rèn)為該模型為無套利，其定價符合市場均衡特征，其中隱含的經(jīng)濟(jì)信息更具有代表性。

　　實時利率曲線定價方案

　　（一）參數(shù)估計

　　本文曲線參數(shù)由基準(zhǔn)券估計得出，假定N只基準(zhǔn)債券的價格向量為PV=[pv1， pv2，…， pvN]T，根據(jù)每只債券的基本信息可計算現(xiàn)金流，假定cij為第i只債券的第j筆現(xiàn)金流。假定N只債券總計有M筆現(xiàn)金流，求解曲線即求解下列方程：PV=cP，其中c為現(xiàn)金流矩陣，P為零息債券價格，即貼現(xiàn)函數(shù)。其具有如下形式：

　　上式中，貼現(xiàn)函數(shù)P（τ）=exp[-y（τ）?τ]，τj=Tj-t，t為估值日，Tj為第j筆現(xiàn)金流到期支付日。P（τ）可由即期利率曲線模型推算出，利率曲線函數(shù)為τi→y（τi）。曲線參數(shù)估計需要使得基于曲線的現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型價格與現(xiàn)券市場價格之間盡量接近，即求解以下優(yōu)化問題：

　　上式中，pvti為債券i市場價格，

　　jcijP（τj），wi為債券i權(quán)重。通常債券權(quán)重選擇為債券久期的倒數(shù)。

　?。ǘ崟r利率曲線定價

　　Jankowitsch和Nettekoven（2008）研究發(fā)現(xiàn)常用的曲線模型并不能完全準(zhǔn)確地對債券定價，存在定價誤差（pricing error）。定價誤差通常由于債券的稅收和流動性不同，但大部分這方面研究無法解釋全部誤差項。剩余定價誤差部分是由模型設(shè)定錯誤或特定時段債券價格偏離市場所致。該作者提出了一個基于債券定價誤差的交易策略，能獲得顯著的回報。作者還發(fā)現(xiàn)債券定價誤差具有一定的趨勢持續(xù)性，并不完全是隨機(jī)的。

　　基于以上考慮，本文實時曲線定價及誤差計算處理邏輯如下：

　　一是基于前幾期曲線計算債券對應(yīng)期估值與行情價格之差作為模型定價誤差；行情價格優(yōu)先選擇收盤成交價，如果不存在則選擇買賣（bid/ofr）中間價。

　　二是計算前幾期定價誤差的滾動均值。

　　三是構(gòu)建當(dāng)前最新曲線，根據(jù)最新曲線計算債券理論價格，將曲線理論價格加上誤差滾動均值，作為最終模型估值。

　　四是獲取最新有效市場行情，更新定價誤差。

　　（三）實時利率曲線評價

　　曲線模型選擇的直觀考量標(biāo)準(zhǔn)是定價準(zhǔn)確性和對沖效果，同時需要兼顧曲線計算的簡便性、理論 上的一致性等。同時，也需要考慮曲線的穩(wěn)定性，即曲線受單個數(shù)據(jù)點的波動影響較小，當(dāng)數(shù)據(jù)小幅變動時曲線變動不應(yīng)更大。

　　數(shù)據(jù)選取與清洗方案

　　國債期貨與利率互換作為常用的對沖工具，同樣包含與市場利率相關(guān)的信息。為使曲線更能反映當(dāng)前市場狀態(tài)，本文加入國債期貨參與構(gòu)建曲線。本文選取國債期貨主力合約參與曲線構(gòu)建：在主力合約可交割券中選擇交易最活躍券，將國債期貨價格乘以轉(zhuǎn)換因子作為該券在期貨結(jié)算日的債券全價。

　　為使得曲線包含更多有效信息，數(shù)據(jù)的處理同樣重要。

　?。ㄒ唬┊惓?shù)據(jù)處理

　　由于手動輸入錯誤或其他操作失誤等，行情存在異常報價。該類報價明顯大幅偏離當(dāng)前市場行情。所以數(shù)據(jù)處理先需過濾異常數(shù)據(jù)。

　　本文的異常數(shù)據(jù)過濾規(guī)則為：當(dāng)成交價格偏離最近3分鐘市場行情最優(yōu)價均值超過20BP，則標(biāo)記為異常數(shù)據(jù)，將其過濾。

　　（二）倒掛數(shù)據(jù)處理

　　不同渠道經(jīng)紀(jì)商報價不能直接撮合成交，當(dāng)行情存在倒掛時，手動報價撮合并不能立即消除倒掛機(jī)會。本文在假定倒掛行情存在成交可能性下，在兩者之間綜合選擇，保留部分信息。其處理規(guī)則如下：與上一筆行情比較，取保守價格。

　　（三）基準(zhǔn)券權(quán)重

　　由于權(quán)重不同，曲線受不同券行情波動的影響不同，進(jìn)而影響曲線對不同券的定價。因此本文在權(quán)重中考慮了每只券的交易活躍度。本文在每日日初固定基準(zhǔn)券權(quán)重，取上一交易日成交筆數(shù)的對數(shù)ln（X）+2，X為成交筆數(shù)。

　　實時利率曲線定價結(jié)果

　　本文基準(zhǔn)券選擇規(guī)則如下：對于固息國債和政策性金融債，選擇過去一周成交量活躍且上一交易日存在交易的債券，其中剔除剩余期限不足1年及上市已超過3年的債券，剔除含權(quán)債、浮息債、貼現(xiàn)債。另外增加國債期貨主力合約。最終的實時利率曲線結(jié)果如圖1所示。

　　圖1為2023年12月22日08∶56基于行情構(gòu)建的平價曲線（Par Curve），其由零息曲線計算得出。其中虛線為上一分鐘曲線，實線為當(dāng)前這一分鐘曲線。其中紅色空心圓圈為參與構(gòu)建曲線基準(zhǔn)券的市場行情，綠色實心圓點為成交行情，上下三角形分別代表買賣報價。

　　為考察本文方法對債券的定價結(jié)果，本文選擇2023年12月19日的一組債券數(shù)據(jù)。該組債券總計215只，其中包含政府債券82只、政策性金融債133只，含活躍券和非活躍券。數(shù)據(jù)時間段為08：30至18∶30，按分鐘頻率統(tǒng)計最終定價與成交行情的誤差。其中以前5個交易日日均成交筆數(shù)作為債券活躍度指標(biāo)，將債券劃分為3組：小于5筆、大于5筆小于20筆、大于20筆。其定價結(jié)果如表1所示。結(jié)果顯示越活躍債券的定價誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差越小，這與預(yù)期一致。其中“最大值”一列顯示某券定價誤差的最大值。由于定價券中存在剩余期限小于0.1年的債券，其行情及定價波動較大，但全樣本債券定價波動標(biāo)準(zhǔn)差為0.23BP左右。

　　對不同剩余期限債券的定價結(jié)果如表2所示。表2顯示，在10年期限以內(nèi)，當(dāng)期限增加，曲線定價結(jié)果均值和誤差減小，定價更精準(zhǔn)；而大于10年的債券定價與期限間沒有明顯關(guān)系，可能與相關(guān)數(shù)據(jù)樣本量偏小有關(guān)。剩余期限大于10年的債券相對小于1年的短期債券，短期債券波動更大，異常偏離也更大。短期限債券更容易受曲線變動影響，這與NS模型的特點相符。

　　基于交易曲線關(guān)鍵期限基點的價值對沖策略

　?。ㄒ唬_模型

　　本文選擇債券投資組合中基準(zhǔn)組合構(gòu)建代表性投資組合，考察曲線對沖效果。假定持倉組合值為V0，存在i個風(fēng)險度量指標(biāo)，存在L個可用的對沖工具，其值為H=（H1， H2， ．．．， HL）T，對沖工具對因子的敏感性為?iHl，假定對沖工具的權(quán)重為p=（p1， p2， ．．．， pL）T，對沖組合的價值為H（p）=pT·H。該組合對因子的敏感性為?iH（p）=pT??iH。那么對沖的目標(biāo)是盡可能對沖掉持倉組合V0對該因子的敏感性風(fēng)險?iV0。對沖組合問題轉(zhuǎn)換為一個優(yōu)化問題。該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為：

　　上式中，假定TCl為該對沖工具的交易成本。若定義矩陣?H=[?1H， ?kH， ．．．， ?kH]，?V0=[?1V0， ．．．， ?kV0 ]T，假定權(quán)重矩陣W的對角上元素為Wk，交易成本矩陣TC對角上元素為TCl，那么上述問題轉(zhuǎn)化為：

　　上述問題的解為：

　?。ǘ┙灰壮杀?/p>

　　在債券市場中存在買賣非同步性和信息不對稱，使得交易存在成本。其中買賣的非同步性導(dǎo)致做市商或投資者需要被動持有一段時間，并面對價格波動帶來的損益。信息不對稱是交易成本存在的另一個重要原因：不同債券發(fā)行者、不同債券條款對投資者傳遞的信息含量不同。在進(jìn)行對沖時需要考慮交易成本。本文中，交易成本TC=Dt×BA，Dt為定價期初債券久期，BA為買賣價差。

　?。ㄈ╋L(fēng)險敏感性計算

　　本文中資產(chǎn)組合的利率敏感性指標(biāo)為關(guān)鍵期限基點價值（KRDV01，以下簡稱“關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01”），為曲線在關(guān)鍵期限上變動1個基點對債券價格的影響，可根據(jù)關(guān)鍵期限久期（KRD， Key-Rate Duration）計算。國債期貨的風(fēng)險敏感性由前文所述可交割券計算，即可交割券的敏感性除以轉(zhuǎn)換因子。

　　（四）對沖策略

　　本文對沖策略是在關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01上設(shè)定兩個風(fēng)險閾值。當(dāng)組合關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01達(dá)到第一個閾值1時，且持倉組合風(fēng)險較小時，根據(jù)債券交易流動性，選擇市場行情最優(yōu)價掛單賣出已持有債券。在此情形下，需要考慮掛單至被點擊成交的時間成本，當(dāng)成交時，做市商的持倉量減少，同時做市商可以獲得買賣價差。當(dāng)組合關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01達(dá)到第二個閾值2時，此時在國債期貨等活躍資產(chǎn)上對沖，可以對沖該關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01，同時減少其他關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01風(fēng)險。

　　為考察交易曲線及其對沖效果，本文選擇持倉組合如下：由短期子彈策略、中期子彈策略、長期子彈策略構(gòu)建的梯形組合。組合中包含債券如下：1年期債券（包含140029.IB、220332.IB）、3年債券（包含220002.IB、210315.IB）、5年期債券（包含180027.IB、190205.IB）、10年期債券（包含130016.IB、230205.IB）、30年期債券（包含230009.IB、210221.IB）。組合總持倉面值1億元，每個組合內(nèi)每只券持倉面值1000萬元。

　　組合采用對沖工具為30年期國債期貨（TL2403）、2年期國債期貨（TS2403）、10年期國債期貨（T2403）、5年期國債期貨（TF2403）。在2023年12月28日計算對沖結(jié)果如表3所示。表中關(guān)鍵期限為0.5年、1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、30年。持倉組合中單券的關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01如表3所示，從該券所在行第4列開始，對應(yīng)的期限列中顯示該券在該期限的關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01。那么當(dāng)組合總計風(fēng)險敞口在設(shè)定關(guān)鍵期限中超過閾值1時（本例中以10年期限關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01值超過5000元）進(jìn)行第一步對沖。以表3中230205.IB為例，其價差在2023年12月28日最低時為0.25BP，10年期關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01為5289.66元，總基點價值（DV01）為8162.05元，那么掛賣單進(jìn)行對沖可獲利2040元。

　　當(dāng)在設(shè)定關(guān)鍵期限中超過閾值2時（本例中以5年、10年或者30年的關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01閾值超過10000元時）進(jìn)行國債期貨對沖。本例通過在國債期貨TL2403上空20手、TS2403上空3手、T2403上空18手、TF2403上空24手，對沖成本為4220元，可以對沖掉持倉組合中在5年、10年、30年期上利率波動的大部分風(fēng)險。

　　結(jié)論

　　本文從實際交易角度出發(fā)，提出了基于交易和對沖的實時利率曲線構(gòu)建方法論，其中融合了國債期貨，使得曲線反映了更多的市場信息，并且對市場波動反應(yīng)更迅速。數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示，NS模型對活躍券的定價比較準(zhǔn)確、穩(wěn)定，但其短端定價波動較大，與NS模型特征相符。這可以作為未來的改進(jìn)優(yōu)化方向。另外，組合的對沖分析需要考慮交易成本，不同對沖工具的交易成本不同。由于國債期貨交易活躍，其交易成本相對較低，本文的分析案例選擇國債期貨作為對沖工具。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1]Christensen J H， Diebold F X， Rudebusch G D， The affine arbitrage-free class of Nelson–Siegel term structure models[J]． Journal of Econometrics， 2011，164 （1）．

　　[2]Coroneo L， Nyholm K， Vidova-Koleva R， How arbitrage-free is the Nelson-Siegel model？[J]．Journal of Empirical Finance[J]．2011，18（3）．

　　[3]Diebold F X， Li C， Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields[J]．Journal of Econometrics， 2006，130（2）．

　　[4]Duffie D， Kan R， A Yield-factor Model of Interest Rates[J]． Mathematical Finance， 1996，6（4）．

　　[5]Jankowitsch R， Nettekoven M， Trading strategies based on term structure model residuals[J]． The European Journal of Finance， 2008，14（4）：281-298．

　　[6]Leif B G Andersen， Vladimir V Piterbarg． Interest Rate Modeling[M]． Illustrated edition． Atlantic Financial Press， 2011．

　　[7]Nelson C R， Siegel A F， Parsimonious Modeling of Yield Curves[J]． Journal of Business，1987，60（4）．